大切削角切削水饱和沙的负空隙水压力的有限元计算
萨珀. 安得烈斯. 弥迪马(Dr.ir.S.A.Miedema)[1]
赵易[2]
Abstract:
In the cutting of
water-saturated sand, the phenomenon of dilatation plays an important role. The
existence of dead zone in front of the blade when cutting at large cutting
angles will affect the value and distribution of vacuum water pressure on the
interface. This paper attempts to develop a finite element
method for predicting the occurrence of boundary soil wedges in water saturated
soil cutting and to evaluate the interaction between these two factors. First the authors consider the non-cavitation
situation with finite element approach, focusing on the dimensionless pore
vacuum pressure and plot of its distribution on the interfaces. Then, by using
an electrical analogon for the pore vacuum pressures, an analytical method is
applied. The results of the analytical method is very good for a first estimate
of the pore vacuum pressures. By the end, another important condition, full
cavitation situation, is analysed and calculated.
Keywords: Water saturated sand, dilatancy, pore water pressure, finite element
calculation, cavitation
摘要: 在水饱和沙的切削过程中，膨胀现象有重要的影响。在大的切削角下，刀片前可能会存在滞留沙层，这也会影响界面上空隙水压力的大小和分布。本文试图通过有限元方法预测水饱和沙切削中该楔形沙层的生成以及衡量两因素之间的相互作用。首先作者从有限元角度考虑无气穴情况，重点集中在无量纲空隙水压力和其在各界面的分布上。之后，对空隙水压力采取电路模拟的计算方法，进行分析计算。分析计算的结果非常适用于空隙水压力的初步预测。最后是另外一个重要情况-全部气穴-的分析和计算。
关键词: 水饱和沙，膨胀现象, 空隙水压力, 有限元计算, 气穴
1简介
在疏浚和隧道钻掘中被处理材料和处理设备之间存在着强烈的相互作用。必须了解这个相互作用中的物理过程和机制才能合理的设计设备。在疏浚和隧道钻掘过程中，挖掘过程是首要步骤。
在水饱和沙的切削过程中，膨胀现象对于切削力的大小意义重大。由于沙层的切变，沙颗粒之间空隙体积变化了，如图1所示。填充增大体积的水流受到一定的阻力，从而导致负空隙水压力。土壤应力和需要的切削力也相应增加。如果体积变化速度足够大，可能空隙水压力达到饱和水汽化压力导致气穴。
图1模拟为连续过程的切削过程
从七十和八十年代以来，荷兰代尔夫特水力研究所[13]，代尔夫特科技大学和矿物技术研究所[10]对水饱和沙的切削进行了深入的研究。在空隙水压力的计算中，研究者假设有一个前移的裂层存在于刀片前，起始于刀头。
常规的分析通常假设断裂层内的所有土壤都经历变形。这并不一定如此。一个与刀片保持相对静止的土壤滞留层可能会产生在断裂层面中。这些层域能形成的非常大，能够明显的改变实际界面的几何形状。在二维的土壤断裂问题中这些层域是规则的楔形。所以我们可以简单得称之为楔子。因为这些土壤楔子是附着在切削刀面上的，所以土壤和刀面之间的磨擦系数不一定达到动磨擦系数(d<df) 。
代尔夫特科技大学疏浚实验室对水饱和压实沙型进行了一系列切削实验[8]。切削角有120，105，90以及低于90不等。实验结果显示在大切削角和小切削角下土壤断裂形式是不同的。大切削角下一个滞留土层在刀片前形成，小切削角就没有。实验中使用摄像头拍摄断裂情况。摄像头被固定在主机动装置的构架上，使其以与实验切削刀头一致的速度位移。图2是摄像纪录的一桢定格。从图中可以看到土壤楔子的存在。
本文尝试采用有限元方法，从理论上系统得分析土壤楔子存在的条件和其对切削力的影响。
图2 120切削角下的断裂层.
2 相关理论
如果假设切削过程是匀速的，我们就可以以刀片为参照建立坐标系，从而在该坐标系内描述水流运动。这样我们就可以建立二维混合边界模型，应用势能定律来解决空隙水压力的问题。为此我们需要适当定义剪切面和其他界面上的边界条件。弥迪马 (1984, [20]) 推导了这些边界条件的基本公式。在1985年
[21, 22] and 1986 年[24] 他发表了更全面的推导。
如果假设剪切面以外没有变形发生，那么公式
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(1) |
可被应用在刀片周围的沙区里。
剪切面的边界条件实际是一个特定流速。我们首先假设如下。如图3所示，在剪切面上的一个无限微小的单元，沿刀宽空隙体积的增加可被计算如下。
|
其中: |
(2) |
in m3/m
残余空隙比例选择为nmax 。nmax 可以实验中测得。
沿刀宽每单元水的流入速度 等于
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|
(3) |
in m3/m
通过达西定律 ( Darcy's law ) 我们可以得到以下微分方程以确定特定流速。垂直于剪切面的方向上：
|
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(4) |
偏微分
是水负压垂直于剪切面方向的微分。由此水负压可以被计算出来。其他边界上的边界条件也标注在图3上。在沙和水的边界我们假设水压处在平衡状态。如果我们忽略刀片两侧沙层深度的区别，我们就可以在计算中认为沙水边界水压为零。沙层内边界被假定为非渗透性的。
图3 剪切面上的体积工作。参数意义：
楔角； 
剪切角
对方程 (4) 等号两边同时除以切削深度使之无量纲化：
|
其中： |
(5) |
由此可得：
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(6) |
撇号表示该变量或变量的偏微分是无量纲的。剪切面上的边界条件可以简化为：
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(7) |
势能定律也必须被无量纲化如下：
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(8) |
现在我们可以从边界条件公式和平衡公式，用有限元计算的方法计算空隙水压力。因为计算是无量纲的，必须对计算值进行处理以得到实际值。水压力值可由对流线上水压微分进行积分求的。
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(9) |
如图4所示。
我们定义剪切面上的平均压力为
，楔子和切削沙层界面上的平均压力
，楔子和底沙界面上的平均压力
，刀片上的平均压力
。
图4 空隙水流向剪切面
3 刀头问题
刀头问题很重要但容易被忽略。在以往切削过程的讨论中我们一直假设刀头是尖的。换句话说，在有限元建模中，在刀后从刀头开始沿沙水边界水压是平衡的。这在现实中是不可能实现的。原因是多方面的，包括刀头的表面处理，磨损，沙层的膨胀和刀片后的负压。这些因素决定了刀片的顶端不可能结束于一个点。其中前三个因素可以设定为有限元计算中刀头后一个附加边界。这个边界是一个非渗透性的线性单元。通过调整单元长度为0.0hi，0.1hi和0.2hi ，我们可以看出计算结果，尤其是刀片上的水压力，明显的受该长度的影响。如图5所示。
图5 刀片和剪切面上的水压分布与刀头单元长度w的关系
很难准确估计在多大程度上这个附加边界条件反映了刀后负压的影响。因为没有相关的刀后负压的计算理论，我们假设该解决办法满足要求。本文模型中刀后的刀头单元长度为0.2hi。在SEPRAN软件生成的边界图中，如图6所示，我们建立了刀头单元。在代表刀片的线13之后，线9，线8和线10位于同一条直线上。线13是非渗透性线性单元，长度为0.2hi ，代表刀头。
4
空隙水压力的数字计算
对空隙水压力的数字计算我们采用标准化软件包SEPRAN(Segal，2001，[29])
。通过利用其中的标准化子程序，我们可以计算出空隙水压力并以数字或图形的形式输出。如图6所示，建立起来的SEPRAN 模型由三个区域组成，分别为原沙区(original sand layer)，切沙区(the cut sand layer)和楔沙区(the wedge) 。
正确计算不仅仅依靠边界的合理设定，也依赖于以下问题的处理：
图6 SEPRAN模型的边界
- 进行计算的网格面积大小
- 单元的尺寸和分布
- 边界条件
为了消除这些因素对计算值精度的影响，同时保证计算过程的经济性，需要针对被解决问题对以上三点进行选择。我们一方面逐步增大计算区域，另一方面逐步减少单元尺寸，直到计算结果变化幅度小于1% (网格如图7和图8所示) 。这时我们认为模型具有足够的对现实情况的模拟性。
对于势能分布变化剧烈或受边界几何形状影响大的区域，网格单元分布较于其他区域更加细密。例如在刀片附近，剪切面和刀头单元上。
在前面切削过程物理机制的分析中我们已经提到过边界条件的问题，具体如下：
图7粗而小的网格
图8细而大的网格
剪切面上的边界条件。就是公式 (5) 。
沙水边界的边界条件。如果忽略刀片尺寸和切削深度造成的压力差，可以认为沙水边界水压为静水压力。因为计算的焦点在于空隙水压力和静水压力的差值，所以以压力值为0设定为边界条件是可行的。
原沙区沙层内的边界是从实际环境中简化抽象出来的。边界条件有诸多选择：
- 静水压力
- 非渗透性边壁
- 已知压力和已知特定水流率的混合
所有这些都是和实际情况有出入的。实际过程中会有外部的水流入计算区域，而在模型中我们设立的人为边界不允许两边的物质交换。这也意味着边界上的压力将不为0。但是，如果我们将边界安置的足够远的话，人为设置的边界条件对计算结果的影响小到足以被忽略。所以，尽管存在一定的主观性，我们仍然可以将这些边界设定为非渗透性边壁。
图9和图10是计算出的等势线图。图11到14是二维水压分布图，分别是在剪切面(左上) ，楔沙和切沙界面(右上) ，楔沙和原沙界面(左下) 和刀面(右下) 上。
图9 水压等势线
图10 彩色水压等势分布
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图11二维水压分布在剪切面(左上) ，楔沙和切沙界面(右上) ，楔沙和原沙界面(左下) 和刀面(右下) 上
5 切削力的计算
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在切削过程中土应力和水压力作用在刀片上，被切削力所平衡。
作用在切削土层上的力如图12所示。这些力为：
1. 正压力N2
；
2. 沙内摩擦角导致的摩擦力S2 ；
3. 沙粘聚力C2；
4. 由p2m产生的空隙水压力W2；
5. 沙粘聚力C1；
6. 正压力N1；
7. 摩擦力S1；
8. 由p1m产生的空隙水压力W1；
9. 加速度力T；
10. 沙楔子重量G2；
11. 水阻力W6；
正压力N1和剪切力S1关系如下：
|
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(10) |
正压力N2和剪切力S2关系如下：
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(11) |
根据水平方向力的平衡我们可以得到：
|
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(12) |
根据垂直方向力的平衡我们可以得到：
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|
(13) |
图12切沙层上的受力
解方程可得：
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(14) |
我们把力K2分成两个部份K2 = K21 + K22：
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(15) |
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(16) |
其中K21是水压力部份，K22部份来自于重力，惯性力，粘聚力，附着力和水阻力。K22部分在K2中比重较小，在计算中被忽略。
作用在楔沙层上的力如图13所示。
图13 作用在楔沙层上的力
这些力是：
1. 前述的力N2，S2，C2和W2；
2. A是楔沙层和刀片之间的附着力；
3. 水压力W4来源于平均空隙水压力p4m；
4. 正压力N4；
5. 楔沙层和刀片之间的摩擦力S4；
6. 正压力N3；
7. 楔沙层和原沙层之间的摩擦力S3；
8. 水压力W3
来源于平均空隙水压力p3m；
9. 附着力C3；
10. 楔沙层的重量G2。
正压力N3和剪切力S3关系如下：
|
|
(17) |
with 
正压力N4和剪切力S4关系如下：
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(18) |
with 
从水平方向力的平衡，可得：
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|
(19) |
从垂直方向力的平衡，可得：
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(20) |
解方程可得：
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(21) |
K4可以分为两部分K4 = K41 + K42；
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(22) |
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(23) |
K41部分是水压力部分，这是K4的主要部分。K42部分计算中被忽略。
刀片受力如图14所示。
图14刀片受力
这些力为：
1.
前述的力N4，S4，A和W4.。
2.
刀后的水压力W5。
每刀片宽度刀片上受力为：
水平受力Fh：
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(24) |
垂直受力Fv：
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(25) |
在无气穴情况下各界面空隙水压力 W1, W2, W3及 W4 可被表示为：
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(26) |
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(27) |
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(28) |
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(29) |
6 空隙水压力的函数计算
如前所示(图4)，当沙膨胀时水可能由4个方向流入剪切面。其中两个路径穿过未变形的原沙层(其渗透律为k)，另两个穿过已膨胀的沙层(渗透律kmax)。如图4所示，3条流径形状为弧形，而越过刀面的流径有很大部分是直线。剪切面每一点上流入的填充空隙的水都可以认为是从上述四条路径中流入的。水沿流径运动会遇到相应的阻力。该阻力与流径长度成正比，与沙层渗透律成反比。图15画出了相应于剪切面上随机的一点的4条流径。流径的长度可由公式30，31，32和33计算得到。公式中变量"Lmax"是剪切面的长度，等于hi/sin(b)。变量"L"是被计算点到剪切面左顶点的距离。所以对于剪切面右顶点L等于"Lmax".
图15 函数方法中设定的流径
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式中 |
(30) |
|
式中 |
(31) |
|
式中 |
(32) |
|
式中 |
(33) |
流径上的水阻力可以由流径长度除以渗透律求得。如公式34，35，36和37所示。
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(34) |
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(35) |
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(36) |
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(37) |
这个情形和并联电阻的电路很相似。我们可以模仿并联电阻阻值的计算公式，计算水流受到的阻力总和，如公式38所示。
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(38) |
流阻Rt与公式5和6中的hi/kmax部分具有相同的物理意义。取而代之，我们就可以得到剪切面上任意一点上空隙水压力的计算公式。
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(39) |
剪切面上各点水压值的集合即为剪切面上平均空隙水压力。如公式40所示。
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(40) |
刀面和其他界面上的平均空隙水压力值无法通过积分的方式求得。刀片根部的水压力是已知的，为零，因为该点是和外部的水直接接触的。界面上的压力分布可以用一个形状系数f乘以刀片两端压力值的平均值来表示。
|
|
(41) |
由图11，可知压力在界面上的分布是非线性的。从刀头到刀片根部顶点，首先空隙水压力增大到最大值，然后非线性的减小，在顶端减小到零。图中根部顶点是横坐标左端点，刀头是右端点。 从弥迪马[24] 和赵易[32]得到的有限元计算结果可知，界面上空隙水压力的分布很大程度上取决于切削深度和刀片高度的比率，以及刀头单元的长度。不同数值下形状系数在可以在2到0.5之间变化。公式42给出修正的形状系数。这是通过对有限元计算结果图比较得来的经验值。
|
|
(42) |
多年来针对不同的切削过程人们进行了很多研究。越是深入的研究，其理论越难以应用于实际计算。本文提出的函数方法提供了一个实用有效的沙切削力的计算方法。关于精确性的问题，有一点需要指出的是，不同于有限元理论计算，疏浚和隧道钻掘工程现场用于粗略估算有相当大的随机性，精确度要求不高。本文的函数计算结果与有限元计算结果相比，偏差不超过10%，精确度完全足够。该方法对设备和时间的要求都不高，很适合施工前的快速粗略估算。
通过引进与流径有关的形状系数可以提高函数计算的准确程度。
7 全气穴情况
在气穴区域中空隙水压值是静水压力
。z是水深。
在全气穴情况下，各界面上的空隙水压力值为
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(45) |
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(46) |
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(47) |
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(48) |
出于简化的考虑，我们忽略水深等常量对公式无量纲化。我们感兴趣的空隙水压力和切削力的关系以及变化趋势并不受影响。由此可得：
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(49) |
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(50) |
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(51) |
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(52) |
无量纲的正压力为：
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(53) |
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由此可得： |
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|
(54) |
当
等于零时，
|
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(55) |
和
达到最小值。所以从这个公式我们可以得到在全气穴情况下使正压力K2 达到最小值的剪切角。从前面的分析中已知，K2的变化势必影响切削力Fh和Fv。当K2达到最小值时，刀片上的水平和垂直切削力也达到最小值。此时即达到平衡状态，楔沙层和其他区域的几何形状保持稳定。
从90到40随着刀片角度的变化，我们计算了在两种不同的钢沙摩擦角
下，
和
之间的关系。
通过对计算结果的分析，我们得出以下结论：
l
在
=90，
的情况下刀面上的垂直切削力为零。这是因为楔沙层和刀面之间的摩擦力是垂直刀面上垂直切削力的唯一来源。随着
的增加，垂直和水平切削力都增加。
l
三个角度参数
，
和
之间存在着固定的关系。这不受
值的影响。
l 对于光滑的刀片，在全气穴情况下，无楔沙层切削的力小于有楔沙层切削。故而切削过程中没有楔沙层存在。
l
对于粗糙刀片，刀片角度小于90大于80时，在全气穴情况下，切削过程中有楔沙层存在。当刀角介于80和70之间，情况发生变化，楔沙层逐渐消失。但是如果内摩擦角f低于25，不论何种刀片角度下楔沙层都会存在。如图16所示。图中两个三维平面分别代表楔沙层切削和无楔沙层切削的水平切削力。两个平面的交线，就是两种切削状态的过渡线。切削过程中有没有楔沙层存在，取决于切削力点位于哪个区域内。
图16 3-D切削力坐标图，x轴为内摩擦角，y轴刀角，z轴水平切削力
另外，从楔沙层的受力分析(公式19，20) ，只考虑正压力和空隙水压力因素，我们可以得到公式如下：
|
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(56) |
代入全气穴状态下的界面水压力计算公式(公式46，47和48) 可以得到：
|
|
(57) |
所以在全气穴状态下
|
|
(58) |
同样，从力的平衡我们可以得到楔沙层和原沙层之间正压力K3。
|
|
(59) |
沙 没有张力，所以K3 必须是个正值。即：
|
|
(60) |
如果取
则
。
8 结论
本文介绍了一个大角度切削水饱和沙的数学模型。通过应用现有理论，应用有限元计算对刀片前滞留沙层进行分析。对全气穴情况的计算结果清晰的呈现出两种切削状态之间的过渡区域，从而界定了刀片前滞留沙层存在的外部条件。对于无气穴情况切削数学模型给出了沙层内和各界面上的空隙水压力的分布。但是计算出的切削力没有现实出我们需要的信息。在特定的切削角情况下，随着楔角变化切削力始终未达到极值。从而无法从切削力的角度决定楔沙层的几何形状，也无法确定楔沙切削的力。这给未来的研究留下了空间，是我们进一步工作的方向。
参考文献
代号表
|
A |
面积 |
m |
|
a |
刀片角度(无楔沙层切削) 楔角(楔沙层切削) |
rad |
|
b |
刀片单元的宽度 |
m |
|
b |
剪切角 |
rad |
|
e |
体积变化率 |
% |
|
Fci |
切削力(general) |
kN |
|
g |
重力加速度 |
m/s |
|
hi |
切削深度 |
m |
|
k |
渗透率 |
m/s |
|
ki |
起始渗透率 |
m/s |
|
kmax |
最大渗透率 |
m/s |
|
km |
有效渗透率 |
m/s |
|
l |
剪切面长度 |
m |
|
n |
边界垂直向量 |
m |
|
ni |
起始空隙比 |
% |
|
nmax |
最大空隙比 |
% |
|
p |
压力(空隙水压力) |
kPa |
|
patm |
大气压 |
kPa |
|
pcalc |
计算压力(空隙水压力) |
- |
|
pdamp |
饱和汽化压(12厘米水柱) |
kPa |
|
preal |
实际压力(空隙水压力) |
kPa |
|
p1m |
剪切面平均空隙水压力 |
- |
|
p2m |
楔沙层和切沙层界面上的平均空隙水压力 |
- |
|
P3m |
楔沙层和原沙层界面上的平均空隙水压力 |
- |
|
P4m |
刀面上平均空隙水压力 |
- |
|
q, q1 ,q2 |
特定水流速 |
m/s |
|
Q |
沿刀宽每单元水流速 |
m/s |
|
s |
流径长度 |
m |
|
s |
measure for the
layer thickness |
m |
|
t |
时间 |
s |
|
Dt |
时间间隔 |
s |
|
vc |
切削速度 |
m/s |
|
V |
沿刀宽每单元体积增长 |
m |
|
x |
坐标轴 |
m |
|
y |
坐标轴 |
m |
|
z |
坐标轴 |
m |
|
z |
水深 |
m |
|
q |
刀片角度(楔沙层切削) |
rad |
|
j |
内摩擦角 |
rad |
|
d |
钢沙摩擦角 |
rad |
|
rw |
水密度 |
ton/m |